سود مرکب و نحوه محاسبه آن؛ قطره قطره جمع گردد وانگهی دریا شود!

سود مرکب یکی از مباحث مطرح و بسیار مهم در تمام سرمایه‌گذاری‌ها است. خصوصا در بورس که در ظاهر محدودیت نوسان ۵ درصد و سه درصد باعث می‌شود نتوان چندان سود کرد.

اما علی‌رغم این محدودیت نوسان، جادوی سود مرکب باعث می‌شود با همین نوسان ۵ درصد و حتی کمتر به سودهای کلانی رسید.

سود مرکب در بازاری با محدودیت نوسان

در بازار بورس ایران در حال حاضر محدودیت نوسان قیمت در بورس و فرابورس ۵ درصد و در بازار پایه ۳ درصد است. قیمت پایانی یک سهم که همان قیمت باز شدن سهم در روز معاملاتی بعدی است میانگین همین قیمت‌های معاملاتی سهم با در نظر گرفتن حجم مبناست.

درهرصورت فرض کنید شما سهمی دارید که در هر روز معاملاتی در قیمت پایانی +۵ درصد بسته می‌شود. فرض کنید شما به اندازه 10 میلیون تومان از این سهم خریده‌اید، در چند روز معاملاتی ارزش سهمی که خریده‌اید دو برابر می‌شود؟

بگذارید حساب کنیم.

اگر سهم در هر روز +5 درصد بخورد؛ یعنی در هر روز 5 درصد سود کنید، در این صورت سهمی که شما خریده‌اید در اولین روز معاملاتی 500 هزار تومان سود می‌دهد؛ زیرا

پس دارایی شما در پایان اولین روز معاملاتی برابر ۱۰ میلیون و 500 هزار تومان خواهد بود.

حالا فرض کنید که ارزش سهم شما در روز دوم معاملاتی هم +5 درصد رشد کند. در نتیجه سود شما در دومین روز معاملاتی برابر 525 هزار تومان می‌شود.

پس دارایی شما در روز دوم معاملاتی برابر ۱۱ میلیون و 25 هزار تومان می‌شود.

اگر به همین ترتیب حساب کنید سود شما در روز سوم معاملاتی 551 هزار و 250 تومان و دارایی شما در پایان روز معاملاتی سوم ۱۱ میلیون و 576 هزار و 250 تومان خواهد بود.

حال بگذارید آنچه را گفتیم، تجمیع کنیم.

فرمول محاسبه سود مرکب

فرض کنید دارایی شما در روز n-ام را به‌صورت FV n و سرمایه اولیه شما را با PV نمایش دهیم. در این صورت دارایی شما در روزهای یکم، دوم و سوم چنین خواهد بود:

اگر با همین ترتیب ادامه دهیم می‌بینیم درصورتی‌که سرمایه‌ اولیه شما PV و r میزان سود یا همان نرخ بهره باشد و میزان دارایی شما در روز n-ام FV n باشد، در این صورت خواهیم داشت:

پس با این حساب می‌بینیم که اگر سهمی که شما به اندازه ۱۰ میلیون تومان از آن خریده‌اید هر روز ۵ درصد یا همان 0.05 سود کند، دارایی شما در ۱۴ روز کاری برابر خواهد بود با:

یعنی شما در ۱۴ روز کاری ۹۸ درصد سود خواهید کرد و دارایی شما ۱۹ میلیون و ۷۹۹ هزار و ۳۱۵ تومان خواهد بود.

در این حساب‌وکتاب‌ها شما می‌توانید سود نهایی را نیز این‌گونه حساب کنید. اگر سود هر روزه‌ای که می‌گیرید را با r نشان دهیم و میزان سود شما در روز n - ام را با r n نمایش دهیم، در این صورت سود نهایی شما چنین خواهد بود:

همچنین با همین طریق اگر سهمی که شما خریده‌اید یک روز دیگر +5 درصد سود بدهد و در 15 روز کاری مثبت 5 بخورد، شما در مجموع 108 درصد خواهید کرد؛ زیرا:

اگر به این اعداد توجه کنید، می‌بینید که سود مرکب چه ارقام بزرگی را می‌تواند حاصل کند؛ زیرا اگر شما 5 روزی کاری یا همان یک هفته در بورس هر روز پنج درصد سود کنید، دارایی شما 28 درصد افزایش می‌یابد.

حال اگر به‌جای ۵ روز کاری، ۱۰ روزی کاری معادل دو هفته در بورس، روزانه ۵ درصد سود کنید، دارایی شما ۶۳ درصد افزایش می‌یابد؛ اما اگر ۱۵ روز کاری یعنی ۳ هفته بورسی هر روز ۵ درصد سود کنید دارایی شما ۱۰۸ درصد افزایش می‌یابد.

سود ترکیبی در بازار منفی

حال بیاید حالت برعکس این را هم مدنظر بگیرید. فرض کنید روزهای اصلاح عمیق در بازار بورس است و سهمی که شما خریده‌اید هر روز به اندازه منفی ۵ درصد ضرر می‌دهد و دارایی شما کم می‌شود.

با این حساب اگر ارزش دارایی شما امروز ۱۰ میلیون تومان باشد، در پنجمین روزی که هر روز منفی ۵ درصد ضرر می‌کنید دارایی شما چنین خواهد بود:

یعنی در روز پنجمی که منفی ۵ ضرر می‌کنید، دارایی شما برابر ۷ میلیون و ۷۰۰ هزار تومان می‌شود. بدین معنی که شما در مجموع ۲۳ درصد ضرر می‌کنید.

اگر با همین روش حساب کنید خواهید دید که در روز ۱۰-ام که شما هر روز منفی ۵ درصد ضرر کرده‌اید، دارایی شما 40 درصد کاهش‌یافته و به ۶ میلیون تومان می‌رسد. در روز ۱۵-ام با ضرر منفی ۵ درصد در روز نیز دارایی شما 54 درصد کاهش می‌یابد و ۴ میلیون و ۶۰۰ هزار تومان می‌رسد.

پس اگر ۱۵ روز متوالی شما هر روز مثبت 5 درصد سود کنید، دارایی شما ۱۰۸ درصد افزایش می‌یابد؛ اما اگر ۱۵ روز متوالی هر روز منفی ۵ درصد ضرر کنید دارایی شما تنها ۵۴ درصد کاهش می‌یابد.

سود ترکیبی در سهم‌های سنگین

حالا فرض کنید شما سهمی خریده‌اید که سنگین است و اینرسی زیادی دارد، سهام شناورش کم است و در نتیجه خیلی با هیجان‌های بازار نوسان نمی‌کند؛ اما مطمئن هستید که این سهم روزانه ۲ درصد سود را می‌دهد.

با کمی حساب‌وکتاب متوجه می‌شود که چنین سهمی که تنها ۲ درصد در روز مثبت می‌خورد در ۳۶ روز کاری یعنی یک ماه و سه هفته، ۹۹ درصد به شما سود می‌دهد.

در اصل وارد شدن به چنین سهم‌هایی می‌تواند یک استراتژی کم ریسک باشد که با اطمینان زیاد سودهای قابل قبولی برای شما تامین کند.

سود مرکب ماهانه و روزانه

آنچه تا اینجا گفتیم تمام چیزهایی هست که شما لازم است در مورد سود مرکب بدانید. مباحثی در ادامه می‌آیند به‌نوعی تکمیل‌کننده این بحث هستند و به نتایج جالبی می‌رسند؛ اما ازآنجایی‌که من در هیچ سیستم سرمایه‌گذاری در ایران مباحثی را که ادامه می‌آیند، ندیدم، حدسم این است که کسی هم از آنچه در ادامه می‌آید استفاده نمی‌کند به همین دلیل احتمالا هم به کارتان نیاید. اما اخیرا طرح سود مرکب بانکی مدتی پیش ارائه شده است و احتمال دارد در آینده مورد استفاده قرار گیرد.

من وقتی اولین بار عبارت «محاسبه سود روزشمار و ماه‌شمار بانکی» را شنیدم، فکر می‌کردم به طریقی که لااقل در کتاب‌های CFA خوانده‌ام قرار است این محاسبات انجام شوند؛ اما روش محاسبه سود بانکی در ایران از قاعده ساده‌تری استفاده می‌کند و البته سود کمتری نیز به مشتریان می‌دهد.

در کتاب‌های CFA سود سرمایه‌گذاری به دو شکل حساب می‌شود. یکی سود یکجا و دیگری سود مرکب ماهانه، روزانه یا چندماهه.

فرض کنید یک صندوق سرمایه‌گذاری می‌گوید که می‌تواند سالانه به شما ۲۰ درصد سود بدهد. در این صورت دارایی شما در پایان سال ۲۰ درصد افزایش می‌یابد؛ یعنی:

یعنی اگر ۱۰ میلیون تومان سرمایه‌گذاری کنید، در آخر سال شما ۱۲ میلیون خواهید داشت.

فرض کنید در این حالت موسسه دیگری به شما می‌گوید که آن‌ هم به شما سالانه ۲۰ درصد سود خواهد داد، اما سود این موسسه به‌صورت سود مرکب ماه‌شمار یا شاید روزشمار خواهد بود.

بدین معنی که به‌جای اینکه یکجا سود ۲۰ درصد را حساب کند، این ۲۰ درصد را تقسیم‌بر تعداد ماه‌های سال می‌کند و حالا با رقم به‌دست‌آمده، برای ۱۲ ماه متوالی برای شما سود حساب می‌کند.
یعنی این موسسه سود شما را برای یک سال این‌گونه حساب می‌کند:

اگر حساب کنید خواهید دید که سود شما در پایان ۱۲ ماه یا همان یک سال این‌گونه می‌شود:

در این حالت دارایی شما در پایان سال 1.2193 برابر می‌شود یعنی 21.93 درصد افزایش می‌یابد. وقتی این موسسه سود مرکب ماهانه برای شما حساب می‌کند، سود واقعی یا همان سود موثری که در پایان سال دریافت می‌کنید، 21.93 درصد می‌شود که بیشتر از سودی است که موسسه قبلی با ۲۰ درصد در سال اما به‌صورت یکجا به شما می‌داد.

اگر فرض کنید شما تصمیم بگیرید که در این موسسه دوم به دلیل همین سود بالاتر سرمایه‌گذاری کنید اما به‌جای یک سال، ۳ سال سرمایه‌ خود را در آن نگاه دارید.

در این حالت تعداد ماه‌هایی که سرمایه شما سود مرکب ماهانه می‌گیرد ۳۶ ماه معادل ۳ سال است. در نتیجه سود شما در پایان سه سال برابر می‌شود با:

یعنی در پایان ۳ سال دارایی شما 81.3 درصد افزایش می‌یابد. در حالت کلی وقتی قرار است یک سود مرکب ماهانه، روزانه یا چندماهه را برای چند سال حساب کنید می‌توانید از این رابطه بهره ببرید:

که در این رابطه FV N دارایی شما در پایان سال N -ام

PV سرمایه اولیه

N تعداد سال‌ها

و m نحوه تقسیم است؛ مثلا برای مرکب ماهانه m=12، برای سه‌ماهه m=4 و برای روزانه m=365 است.

نکته مهم اینجاست که در این نوع محاسبه سود، هر چه تعداد ترکیب‌ها بیشتر باشد، میزان سود حاصله هم بیشتر می‌شود.

بگذارید برای فهم این موضوع این محاسبه را در یک سال که سود سالانه ۲۰ درصد است، برای سود سه‌ماهه، ماهانه و روزانه محاسبه کنیم.

سود مرکب سه ماه این‌گونه می‌شود:

سود سه‌ماهه ۲۱.۵ درصد برای پایان سال خواهد بود.

همان‌طور که در مثالی سطور بالاتر نیز محاسبه کردیم، سود مرکب ماهانه نیز در پایان سال 21.93 درصد می‌شود.

اما سود روزانه چنین خواهد بود:

سود مرکب روزانه در پایان سال 22.13 درصد خواهد بود که بزرگ‌تر از سود مرکب ماهانه و سه ماهه است.

در اصل هر چه تعداد این ترکیب‌ها بیشتر باشد این سود نیز بیشتر می‌شود؛ یعنی هرچه رقم m بزرگ‌تر باشد، سود حاصله نیز بیشتر می‌شود؛ اما اگر m به سمت بی‌نهایت برود چه؟

بگذارید کمی ریاضیات به کار ببریم.

که در آن N تعداد سال‌ها است.

اگر کمی ریاضیات یادتان باشد می‌دانید که:

که در آن e همان عدد نپر و تقریبا برابر 2.718281828 است. اگر رابطه بالا را به این حالت تغییر دهیم، خواهیم داشت:

در نتیجه حداکثر سود مرکب موثر در یک سال با احتساب سود اعلام‌شده ۲۰ درصد در سال برابر خواهد بود با:

حداکثر سود مرکب سالانه می‌تواند 22.1402758 درصد باشد که به آن سود مرکب پیوسته نیز می‌گویند.